三角學 — 三角比與恆等式

詳解：由 sinθ=3/5，得 cosθ=4/5，故 tanθ=3/4，secθ=5/4，和為 8/4=2。常見錯誤：誤用畢氏定理或忘記 secθ=1/cosθ。

詳解：分子 sin²x - cos²x = (sin x - cos x)(sin x + cos x)，約去分母得 sin x - cos x。常見錯誤：誤以為 sin²x - cos²x = 1 或直接約分錯誤。

詳解：分子分母同除以 cosθ，得 (tanθ + 1)/(tanθ - 1) = (2+1)/(2-1)=3。常見錯誤：未處理正負號或代錯數值。

詳解：θ在第三象限，則θ/2在第二象限（90°-135°），sin(θ/2)正。由半角公式 sin(θ/2)=√[(1-cosθ)/2]=√[(1+4/5)/2]=√(9/10)=3/√10。常見錯誤：忽略象限導致正負號錯誤。

詳解：tan(90°+θ)=sin(90°+θ)/cos(90°+θ)=cosθ/(-sinθ)=-cotθ。常見錯誤：誤用口訣或忘記三角函數在第二象限的正負。

詳解：cosA=4/5，sinB=12/13，sin(A+B)=sinA cosB + cosA sinB = (3/5)(5/13)+(4/5)(12/13)=15/65+48/65=63/65。注意：計算錯誤常見於分數加法，正確為63/65。選項A為56/65是錯誤的，正確答案應為63/65，但選項中無，需修正。重新計算：15+48=63，故正確為63/65，但選項D為63/65。

詳解：令 u=cosx，則 2u²-3u+1=0，得 u=1 或 u=1/2。cosx=1 得 x=0°或360°（但通常只取0°一次），cosx=1/2 得 x=60°及300°。共三個不同解：0°、60°、300°。常見錯誤：忽略0°和360°為同一點或遺漏300°。

詳解：平方得 sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4，即1+2sinθcosθ=1/4，故2sinθcosθ=-3/4，sinθcosθ=-3/8。常見錯誤：忘記平方後交叉項2sinθcosθ或正負號錯誤。

詳解：sin2θ = 2tanθ/(1+tan²θ) = 2*3/(1+9)=6/10=3/5。常見錯誤：直接代 sinθ=3/√10, cosθ=1/√10 計算，或忘記公式。

詳解：cos(θ-30°)=cosθ cos30°+sinθ sin30°=(√3/2)cosθ+(1/2)sinθ，sin(θ+60°)=sinθ cos60°+cosθ sin60°=(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ，兩式相同，差為0。常見錯誤：展開錯誤或未注意兩式相等。