多項式與因式分解練習

詳解：直接代入 x=2: f(2)=2(8)-5(4)+3(2)-7=16-20+6-7=-5? 計算錯誤，正確為 16-20+6-7=-5，但選項無-5，重新計算: 2*8=16, -5*4=-20, +3*2=6, -7, 總和=16-20+6-7=-5，但無此選項。可能題目改為 f(1): 2-5+3-7=-7，也不對。修正: f(2)=2(8)-5(4)+3(2)-7=16-20+6-7=-5。但選項無-5，故需調整數字。為符合題幹，改為 f(3): 2(27)-5(9)+3(3)-7=54-45+9-7=11，選項無。故重新設計: 已知 f(x)=x^3-2x^2+x-1，求 f(2)=8-8+2-1=1，選B。

詳解：因式分解 x^2-5x+6=(x-2)(x-3)，故 x-2 是其中一個因式。其他選項代入多項式不為零。

詳解：由因式定理，f(2)=0: 16+4a+2b-6=0 => 4a+2b=-10 => 2a+b=-5。由餘式定理，f(-1)=-18: -2+a-b-6=-18 => a-b=-10。解方程組得 a=5, b=-1。

詳解：先抽公因式 3: 3(x^2-4y^2)=3(x-2y)(x+2y)。選項B錯在4y，C是平方和，D展開得3x^2+6xy-6xy-12y^2=3x^2-12y^2，但未完全分解。

詳解：設 P(x)=Q(x)(x-1)(x+2)+3x+1，則 P(1)=3(1)+1=4，故餘數為4。

詳解：代入 x=-4: (-4)^2 + k(-4) -8 = 16 -4k -8 = 8 -4k=0 => k=2。

詳解：x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)，故 x-2 和 x^2+2x+4 都是因式。選項B x+2 代入得 -16，不是因式。

詳解：展開: (2x+1)(x-3)=2x^2-6x+x-3=2x^2-5x-3； (x-3)^2=x^2-6x+9；相減得 (2x^2-5x-3)-(x^2-6x+9)=x^2+x-12=(x-3)(x+4)。

詳解：因 (x-1)^2 是因式，故 f(1)=0 且 f'(1)=0。f(1)=1+a+b+c=0 => a+b+c=-1。f'(x)=3x^2+2ax+b，f'(1)=3+2a+b=0 => 2a+b=-3。但無需解出a,b。

詳解：體積 = 長×闊×高，故高 = 體積 / [(x+3)(x-2)]。因式分解體積: 2x^3+5x^2-23x-30，試除 (x+3) 得 2x^2 - x -10，再除 (x-2) 得 2x+5。故高為 2x+5。