坐標幾何 — 直線與圓練習題

詳解：兩直線平行，斜率相等。L1斜率為 2/3，L2斜率為 4/6 = 2/3，故平行。但平行線的常數項需成比例：2/4 = -3/-6 = 6/k，解得 k = 12。若選B或C，誤以為常數項相等或符號錯誤。

詳解：圓的標準方程 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，圓心 (h, k) = (2, -1)，半徑 r = √9 = 3。學生常混淆符號或誤將 r^2 當作半徑。

詳解：將 y = 2x + 1 代入圓方程得 (x - 1)^2 + (2x - 1)^2 = 5，化簡得 5x^2 - 6x - 3 = 0，判別式 Δ = 36 + 60 = 96 > 0，但計算錯誤？重新計算： (x-1)^2 + (2x-1)^2 = x^2 - 2x +1 + 4x^2 -4x +1 = 5x^2 -6x +2 =5，即5x^2 -6x -3=0，Δ=36+60=96>0，故兩個交點？但答案為B，需重算。正確代入：y=2x+1，則(x-1)^2+(2x-1)^2=5 → x^2-2x+1+4x^2-4x+1=5 → 5x^2-6x+2=5 → 5x^2-6x-3=0，Δ=36+60=96>0，應有兩個交點。但答案設為B表示相切，可能我算錯？檢查圓心(1,2)到直線距離：d=|2*1 -1*2 +1|/√(2^2+(-1)^2)=|2-2+1|/√5=1/√5≈0.447，半徑√5≈2.236，d<r，應有兩個交點。故答案應為C。修正：正確答案為C。

詳解：已知直線斜率為 -3/4，垂直線斜率為 4/3。L 方程：y + 1 = (4/3)(x - 2)，化簡得 4x - 3y - 11 = 0。學生可能混淆垂直斜率關係（負倒數）或代入點時符號錯誤。

詳解：將一般式配方：x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12，即 (x-2)^2 + (y+3)^2 = 12 + 4 + 9 = 25，圓心 (2, -3)。學生常忘記配方時常數項要加回，或符號錯誤。

詳解：圓心 O(1,-2)，半徑 r=√10。OP = √[(4-1)^2 + (-1+2)^2] = √(9+1)=√10。切線長 t = √(OP^2 - r^2) = √(10-10)=0？點在圓上？OP=√10，半徑√10，點在圓上，切線長為0。但選項無0，可能題目設計點在圓外？改為點(4,2)：OP=√[(3)^2+(4)^2]=5，t=√(25-10)=√15。修正點為(4,2)。

詳解：圓心(0,0)到直線距離等於半徑5。距離公式 d = |k|/√(2^2+(-1)^2) = |k|/√5 = 5，得 |k| = 5√5，故 k = ±5√5。學生可能忘記距離公式分母或半徑平方。

詳解：圓心 O(3,-1)，半徑 r=4。O 到 L 距離 d = |3*3 -4*(-1)+5|/√(3^2+(-4)^2) = |9+4+5|/5 = 18/5=3.6。弦長 = 2√(r^2 - d^2) = 2√(16 - 12.96) = 2√3.04 ≈ 2*1.743=3.486，但選項為整數，可能計算錯誤？r=4，d=18/5=3.6，r^2=16，d^2=12.96，差=3.04，開方≈1.744，弦長≈3.488，非整數。改為另一題。

詳解：將 P 代入圓方程左邊：1^2+2^2-2*1+4*2-20 = 1+4-2+8-20 = -9 < 0，故在圓內？通常小於0在內部，但需確認圓方程標準化：配方得(x-1)^2+(y+2)^2=25，圓心(1,-2)，半徑5，P(1,2)到圓心距離=4<5，故在內部。但代入得-9<0，應在內部。答案為A。修正：答案為A。

詳解：C1圓心(1,0)半徑3，C2圓心(0,2)半徑2。圓心距 d = √[(1-0)^2 + (0-2)^2] = √5 ≈ 2.236。半徑和=5，半徑差=1。因 1 < d < 5，故兩圓相交。學生可能誤算圓心距或混淆判別條件。