立體幾何 — 體積與表面積

詳解：圓柱體體積 = πr²h = 200π，即 πr²(8)=200π，化簡得 8πr²=200π，r²=25，所以 r=5 cm。常見錯誤：學生可能錯誤使用表面積公式或忘記π。

詳解：圓錐體積 = (1/3)πr²h = (1/3)π(6²)(8) = (1/3)π(36)(8)=96π cm³。常見錯誤：學生忘記乘以1/3（選B）或漏掉π（選C或D）。

詳解：球體體積 = (4/3)πr³ = 36π，即 (4/3)πr³=36π，兩邊除以π得 (4/3)r³=36，r³=27，所以 r=3 m。常見錯誤：學生可能混淆公式（如用表面積公式）或計算r³時出錯。

詳解：設原邊長為 a，原體積 a³。新邊長 1.2a，新體積 (1.2a)³=1.728a³。體積增加 (1.728-1)/1 ×100%=72.8%。常見錯誤：學生可能誤以為體積增加百分率與邊長相同（選A），或只計算面積增加（選B）。

詳解：圓柱體表面積 = 2πr² + 2πrh = 2π(5²)+2π(5)h = 50π+10πh = 150π，所以 10πh=100π，h=10 cm。常見錯誤：學生可能忘記乘以2（只算一個底面）或錯誤使用體積公式。

詳解：半球體積 = (1/2)(4/3)π(3³)=18π。圓錐體積 = (1/3)π(3²)h=3πh。令 3πh=18π，得 h=6 cm。常見錯誤：學生可能誤用半球公式（忘記乘以1/2）或混淆圓錐體積公式。

詳解：長方體體積 = 10×6×4=240 cm³。圓柱體體積 = πr²h = 5πr² = 240，r²=48/π，取π≈3.14，r²≈15.29，r≈3.91，最接近4 cm。常見錯誤：學生可能忘記除以π或誤用體積公式。

詳解：當平面不平行且不垂直於軸時，圓柱體的截面為橢圓。若平面平行於軸，截面為矩形；若垂直於軸，截面為圓形。常見錯誤：學生可能誤以為所有斜切都得到圓形或矩形。

詳解：球體體積 = (4/3)πR³，圓柱體積 = πR²(2R)=2πR³。兩者相等？(4/3)πR³ vs 2πR³，2=6/3，所以(4/3)πR³ < (6/3)πR³，圓柱體積較大。更正：球體體積≈4.18879R³，圓柱體積≈6.28318R³，所以圓柱體積較大。正確答案為B。常見錯誤：學生可能誤以為球體體積公式中的4/3大於2，或混淆公式。

詳解：體積 = π(R² - r²)h = π(5² - 3²)×10 = π(25-9)×10 = 160π cm³。常見錯誤：學生可能只計算外圓柱體積（250π）或內圓柱體積（90π），或錯誤計算半徑差。