立體幾何 — 體積與表面積

詳解：圓柱體積公式：V = πr²h = π × 3² × 7 = 63π cm³。部分學生可能誤用表面積公式或忘記平方半徑，導致選 B（2πrh）或 C（πrh）。

詳解：圓錐體積：V = (1/3)πr²h = (1/3)π × 4² × 9 = 48π cm³。學生易忘記乘以 1/3 而選 D，或誤算 r² 為 8 而選 C。

詳解：球體積公式：V = (4/3)πr³，代入得 (4/3)πr³ = 288π，r³ = 216，r = 6 cm。學生可能誤以為 r³ = 288/4×3 而得出 r=8 等錯誤。

詳解：半球表面積 = 曲面面積 + 底面積 = 2πr² + πr² = 3πr² = 3π×25 = 75π cm²。學生常只計曲面（2πr²）而選 A，或誤用球表面積公式（4πr²）而選 C。

詳解：修正：圓柱體積 = π×4²×10 = 160π；半球體積 = (2/3)π×4³ = (2/3)π×64 = 128π/3 ≈ 42.67π；總體積 = 160π + 128π/3 = (480π+128π)/3 = 608π/3 ≈ 202.67π，但選項無此值。可能題目期望使用近似值？或我出錯。改用半徑 6 高 10 圓柱，半球半徑 6：圓柱 360π，半球 144π，總和 504π，選項仍無。故將半球改為相同半徑的圓錐？不，為避免錯誤，我重新設計第5題。

詳解：圓柱體積 = π×3²×10 = 90π；半球體積 = (2/3)π×3³ = (2/3)π×27 = 18π；總體積 = 90π + 18π = 108π cm³。學生可能忘記半球體積需乘以2/3，或誤加整個球體積。

詳解：斜高 l = √(r² + h²) = √(5² + 12²) = √(25+144) = √169 = 13 cm。學生可能誤用勾股定理或混淆半徑與高，導致選 B（5+12=17）或 C（12-5=7）。

詳解：圓柱半徑 6 cm，高 = 直徑 = 12 cm，圓柱體積 = π×6²×12 = 432π。球體體積 = (4/3)πr³ = 432π，得 r³ = 324，r = ∛324 ≈ 6.87？不對，應為 r³ = 324？計算：432π / (4/3)π = 432 × 3/4 = 324，r = ∛324 ≈ 6.87，選項無。可能圓柱高=半徑？改為高=半徑=6，則體積=216π，球體積=216π，得 r³=162，r≈5.45，仍無。改為高=直徑=12，半徑=6，體積=432π，球體積=432π，r³=324，r≈6.87，無選項。修正數據：圓柱半徑 3 cm，高=直徑=6 cm，體積=54π，球體積=54π，r³=40.5，r≈3.43。不合。改用球體積與圓柱體積相等，且圓柱半徑=3，高=9，則體積=81π，r³=60.75，r≈3.93。為使答案整數，設圓柱半徑 r_c，高 h=2r_c，體積=2πr_c³，球體積=(4/3)πr_s³，令相等得 r_s³ = (3/2)r_c³，r_s = r_c × ∛(1.5) 非整數。故改為圓柱高=半徑，則體積=πr_c³，球體積=(4/3)πr_s³，令相等得 r_s³ = (3/4)r_c³，r_s = r_c × ∛0.75，仍非整。或許題目設計為球體表面積相等？為簡化，我將此題改為另一題。

詳解：圓柱表面積 = 2πr² + 2πrh = 2π×25 + 2π×5×h = 50π + 10πh = 150π，得 10πh = 100π，h = 10 cm。學生可能忘記乘以2或混淆公式，導致選 A 或 C。

詳解：圓錐側面積 = πrl，代入得 π×5×l = 65π，l = 13 cm。學生可能誤用底面積公式或忘記 π，導致選 B（65/5=13？但應為13）其實正確，但可能誤算。

詳解：旋轉軸為高時，底半徑為長或闊中較大者？實際上，若以高為軸，則底面為長方形旋轉，半徑為對角線？不，旋轉體：若長方體繞一邊旋轉，所得圓柱的半徑為垂直於軸的邊長。例如繞長旋轉，則半徑為闊，高為長，體積=π×闊²×長 = π×6²×8=288π；繞闊旋轉，半徑=長，高=闊，體積=π×8²×6=384π；繞高旋轉，半徑為長或闊中較大者？實際上，繞高旋轉時，長方形截面繞高旋轉，半徑為長方形的對角線？不，長方體繞一條邊旋轉，所得立體為圓柱，其半徑為垂直於軸的邊長，但長方體有兩個垂直邊，應取哪個？若繞高旋轉，則底面為長方形，旋轉時長方形繞高旋轉，所得圓柱的半徑是從軸到最遠點的距離，即長方形的對角線？不對，繞高旋轉，長方形面繞高旋轉形成圓柱，半徑應為長方形的寬？實際上，當長方形繞一邊旋轉時，另一邊成為半徑。但長方體繞高旋轉時，其截面為矩形，旋轉後半徑為矩形的對角線？標準做法：長方體繞一條稜旋轉，所得立體為圓柱，半徑等於垂直於該稜的矩形對角線？不，例如一個矩形繞一邊旋轉，形成圓柱，半徑為另一邊長。但長方體是立體，繞一條邊旋轉時，整個立體旋轉，其截面是與軸垂直的平面，半徑為該截面上離軸最遠的點。若軸為長方體的一條稜，則垂直於軸的截面為矩形，其對角線長度為半徑。因此，繞長旋轉時，半徑 = √(闊²+高²) = √(6²+5²)=√61，體積 = π×(√61)²×長 = π×61×8=488π；繞闊旋轉時，半徑 = √(長²+高²)=√(8²+5²)=√89，體積=π×89×6=534π；繞高旋轉時，半徑 = √(長²+闊²)=√(8²+6²)=10，體積=π×100×5=500π。比較得繞闊旋轉體積最大。但選項中無此，且題目可能簡化為繞一邊旋轉，半徑為另一邊？通常中學題目：長方形繞一邊旋轉，半徑為另一邊。但這裡是長方體，可能視為矩形繞一邊旋轉？為避免複雜，我改為長方形。

詳解：球體體積 = (4/3)π×27 = 36π；圓錐體積 = (1/3)π×4×h = (4/3)πh。令相等：36π = (4/3)πh，h = 36 × 3/4 = 27 cm。學生可能忘記圓錐體積的1/3，導致選 D 或誤算。