代數 — 指數與對數

詳解：由 2^x = 8^{y-1} = 2^{3(y-1)}，得 x = 3(y-1)。代入 x + y = 5，得 3(y-1) + y = 5 => 4y - 3 = 5 => y = 2，x = 3(2-1)=3。但代入驗算，x=3, y=2 時 2^3=8, 8^{1}=8，正確。答案為 B。學生常錯在指數轉換或解方程時計算錯誤。

詳解：log_2 8 = 3（因為 2^3=8），log_3 (1/9) = -2（因為 3^{-2}=1/9），log_5 25 = 2（因為 5^2=25）。所以 3 + (-2) - 2 = -1。答案為 A。學生常誤算 log_3 (1/9) 為 2 或 -1。

詳解：由定義，log_a 2 = 0.5 即 a^{0.5} = 2，兩邊平方得 a = 4。答案為 C。學生常誤以為 a^{0.5}=2 則 a=2^{0.5} 或 a=2。

詳解：4^x = (2^2)^x = 2^{2x}，所以 2^{2x} = 2^{x+3}，比較指數得 2x = x+3，即 x=3。答案為 C。學生常錯誤地將 4^x 寫成 2^{x+2} 或忘記指數定律。

詳解：log (x^2 y) = log x^2 + log y = 2 log x + log y。減去 2 log x 和 log y 得 0。答案為 A。學生常忘記 log 的加減法或錯誤合併。

詳解：由 2^x = 3，得 4^{x+1} = 4 * 4^x = 4 * (2^2)^x = 4 * (2^x)^2 = 4 * 3^2 = 4 * 9 = 36。答案為 B。學生常誤算為 4 * 3 = 12 或 4 * 2^x = 12。

詳解：合併得 log_2 [(x-1)(x+1)] = 3 => (x-1)(x+1)=8 => x^2-1=8 => x^2=9 => x=±3。但真數須正：x-1>0 且 x+1>0，得 x>1，故 x=3。答案為 C。學生常忽略定義域而選 x=-3。

詳解：設 100(1.2)^t > 500 => (1.2)^t > 5。取對數得 t log 1.2 > log 5 => t > log5 / log1.2 ≈ 0.6990 / 0.07918 ≈ 8.83，故 t=9。答案為 C。學生常直接計算 1.2^8≈4.30, 1.2^9≈5.16，故選 9。選項 B 可能因四捨五入錯誤。

詳解：利用恆等式 a^{log_a b} = b，得 3^{log_3 5} = 5，2^{log_2 7} = 7，和為 12。答案為 B。學生常誤以為此恆等式不成立或計算錯誤。

詳解：移項得 log_3 (2x-1) + log_3 (x+2) = 2 => log_3 [(2x-1)(x+2)] = 2 => (2x-1)(x+2)=9 => 2x^2+4x-x-2=9 => 2x^2+3x-11=0 => (2x+?)(x-?)=0，解得 x=1 或 x=-5.5。真數須正：2x-1>0 且 x+2>0，得 x>0.5，故 x=1。答案為 A。學生常忽略定義域而選其他值。