立體幾何 — 體積與表面積（高難度）

詳解：原體積 V = πr²h。新高度 h' = 1.2h，新體積 V' = πr'²(1.2h)。因體積不變，πr'²(1.2h) = πr²h，化簡得 r'² = r²/1.2，所以 r' = r/√1.2 ≈ r/1.0954，即 r' 約為原來的 0.9046倍，減少約 9.54%。常見錯誤：學生可能誤以為半徑與高度成反比，忽略平方關係。

詳解：圓錐體積 = (1/3)×底面積×高 = (1/3)×9π×4 = 12π cm³。圓柱底面半徑 3 cm，底面積 = 9π cm²。設圓柱高 h，則 9π h = 12π，得 h = 4/3 cm。常見錯誤：學生忘記圓錐體積的 1/3，誤算體積為 36π，導致高為 4 cm（選B）。

詳解：球體體積公式 V = (4/3)πr³，所以 (4/3)πr³ = 288π，化簡得 r³ = 216，r = 6 cm。表面積 = 4πr² = 4π×36 = 144π cm²。常見錯誤：學生可能混淆體積與表面積公式，或計算 r³ 時出錯。

詳解：原體積 = 5×4×3 = 60 cm³。新體積 = 6×5×4 = 120 cm³。體積增加 = 60 cm³，增加百分比 = (60/60)×100% = 100%。但注意：選項 D 是 100%，但正確答案是 C？重新計算：新體積確實為 120，增加 60，百分比為 100%。但選項 D 是約 100%，而 C 是約 80%，哪個正確？檢查：常見錯誤是學生以為各增加 1 cm 是線性增加，但體積增加並非 1/3。正確計算：增加百分比 = (120-60)/60 = 1 = 100%。但題目設計：可能學生誤算為 (6×5×4)/(5×4×3) = 120/60 = 2，增加 100%。然而，選項中 D 是約 100%，但 C 是約 80%，似乎 D 更合理。但為符合難度，我應調整數字。為避免混淆，修改題目：長寬高各增加 10%？不，保持原題，但修改選項。正確答案為 100%，但選項 D 為 100%，C 為 80%。所以答案應為 D。但為確保干擾項合理，常見錯誤：學生可能誤以為體積增加 (1/5+1/4+1/3) 等，故設 C 為 80%。因此答案為 D。

詳解：底面為正方形，對角線長 6√2 cm，底面中心到頂點距離即高 h。側棱長 5，底面中心到頂點的水平距離為對角線一半 = 3√2 cm。由勾股定理，h = √(5² - (3√2)²) = √(25 - 18) = √7 cm。體積 = (1/3)×底面積×高 = (1/3)×36×√7 = 12√7 cm³。常見錯誤：學生誤用側棱長為高，或錯誤計算底面中心距離。

詳解：半球體曲面面積 = (1/2)×4πr² = 2πr² = 2π×9 = 18π cm²。底面為圓形，面積 = πr² = 9π cm²。總表面積 = 18π + 9π = 27π cm²。常見錯誤：學生忘記加底面，只選 B；或誤用球體表面積公式。

詳解：側面展開為正方形，即圓柱高 h = 底面周長 2πr。體積 V = πr²h = πr²(2πr) = 2π²r³ = 250π，化簡得 2πr³ = 250，r³ = 125/π，r = 5/∛π？不對，重新計算：2π²r³ = 250π => 2πr³ = 250 => r³ = 125/π => r = 5/∛π。但 h = 2πr = 2π×(5/∛π) = 10π^(2/3)，不是整數。可能數字設計有誤。修改：設體積為 16π³？為簡化，設體積為 2π²r³，令 r=5，則體積=2π²×125=250π²，不是 250π。為使答案整數，設體積為 1000π？不。正確設計：若 h=2πr，體積=πr²(2πr)=2π²r³。設 r=5，體積=250π²，不是 250π。所以需調整數字。為避免複雜，改用另一題。

詳解：鐵球體積 = (4/3)π×10³ = (4000/3)π cm³。水桶底面積 = π×20² = 400π cm²。水位上升 = 體積/底面積 = (4000/3)π / (400π) = 10/3 cm。常見錯誤：學生可能誤用球體表面積或忘記除以底面積。

詳解：底面為正三角形，邊長 4 cm，面積 = (√3/4)×4² = 4√3 cm²。兩個底面總面積 = 8√3 cm²。側面為三個矩形，每個面積 = 4×10 = 40 cm²，總側面積 = 120 cm²。總表面積 = 8√3 + 120 cm²。常見錯誤：學生可能誤算底面面積為 (√3/2)×4² = 8√3，導致選 B。

詳解：原圓錐體積 = (1/3)π×6²×8 = 96π cm³。小圓錐高 = 4 cm，相似比 = 4/8 = 1/2，底面半徑 = 6×1/2 = 3 cm，體積 = (1/3)π×3²×4 = 12π cm³。圓台體積 = 96π - 12π = 84π cm³。常見錯誤：學生可能直接用半高計算，但未考慮相似比例。