概率與統計練習題

詳解：兩個球顏色不同的情況有兩種：先紅後藍或先藍後紅。概率 = (5/8)×(3/7) + (3/8)×(5/7) = 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28。選項 B 是只考慮一種順序，C 是只算一種順序未約分，D 是誤用獨立事件公式。

詳解：A 和 B 互斥，所以 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.4 + 0.5 = 0.9。選項 A 是誤乘，B 和 C 分別是單一事件的概率。

詳解：標準差不受平移影響，但會乘以縮放因子。每個數據乘以 3，標準差也乘以 3，再加 1 不影響標準差。所以新標準差是原標準差的 3 倍。選項 B 是方差倍數，C 混淆了平移，D 忽略了縮放。

詳解：二項分布：P(X=2) = C(4,2)×(1/2)^2×(1/2)^2 = 6×(1/4)×(1/4)=6/16=3/8。選項 A 是 1/4，C 是 1/2，D 是 3/16。

詳解：62 和 78 分別是平均分減一個標準差和加一個標準差，即 z = -1 和 z = 1。在常態分布中，約 68% 的數據落在一個標準差內。選項 A 是單側 34%，B 是 1.96 個標準差對應的 47.5%，D 是兩個標準差。

詳解：1 至 10 中的質數有：2, 3, 5, 7，共 4 個。概率 = 4/10 = 2/5。選項 A 是 2/10，C 是 3/10，D 是 5/10，皆因質數計數錯誤。

詳解：中位數是位置平均數，不受極端值影響。平均數、標準差和全距都會受極端值影響。選項 A 和 B 對極端值敏感，D 全距直接由極端值決定。

詳解：期望值 = (1/6)×10 + (5/6)×(-2) = 10/6 - 10/6 = 0。選項 B 是 1/3，C 是 2，D 是 10/3，均為計算錯誤。

詳解：方差不受平移影響，每個數據加 5，方差保持不變，仍為 4。選項 B 是標準差加 5 的誤解，C 和 D 是其他錯誤。

詳解：P(紅心) = 13/52，P(K) = 4/52，P(紅心且 K) = 1/52，所以 P(紅心或 K) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13。選項 A 是只算紅心，C 是 1/2，D 是未約分的 16/52 但已是最簡，實際 B 正確。注意 D 與 B 等值但通常選最簡分數。