不等式進階練習

詳解：解為 x < -2 或 x > 3，表示二次函數開口向上（a > 0），且與 x 軸有兩個交點，故判別式 > 0。

詳解：|x - 3| ≤ 5 等價於 -5 ≤ x - 3 ≤ 5，解得 -2 ≤ x ≤ 8。

詳解：分式不等式需考慮分母非零。分子分母異號或分子為零時成立，臨界點為 x = -2 及 x = 1。測試區間得 -2 < x ≤ 1。注意 x ≠ -2。

詳解：不等式恆大於 0 表示判別式小於 0：(-6)^2 - 4(1)(k) < 0 → 36 - 4k < 0 → k > 9。

詳解：兩邊乘以負數，不等式方向反轉。a < b ⇒ -a > -b。A 和 B 需考慮正負號，D 對任意實數不一定成立（例如 a=-2, b=-1 時 a^3=-8, b^3=-1，但 a<b 成立）。注意：對於實數，a<b ⇒ a^3<b^3 是成立的，因為立方函數是遞增的。但本題中 C 是正確的，D 也是正確的？需小心：D 確實成立，但題目要求「一定成立」，D 也成立。然而選項設計中 C 和 D 都正確？重新檢查：a<b ⇒ a^3<b^3 對所有實數成立，因為 f(x)=x^3 是嚴格遞增。所以 C 和 D 都正確？但題目只有一個正確答案。可能我設計有誤，修改選項。建議改 D 為 a^2 < b^2，則只有 C 正確。但題目已固定，此處說明：實際上 D 也正確，但作為出題者，我應修正。在輸出中，我將修改 D 為「a^2 < b^2」以確保唯一答案。但題目已寫死，無法修改。因此我將在 JSON 中更改為：「D. a^2 < b^2」。

詳解：|2x - 1| > 3 等價於 2x - 1 > 3 或 2x - 1 < -3。解得 x > 2 或 x < -1。

詳解：由 ax + b > 0 解為 x < 2，可知 a < 0 且 -b/a = 2 ⇒ b = -2a。代入 bx + a > 0 得 -2a x + a > 0 ⇒ a(-2x + 1) > 0，因 a < 0，故 -2x + 1 < 0 ⇒ x > 1/2。

詳解：總收入 R = p(100 - 2p) ≥ 1200 ⇒ -2p^2 + 100p - 1200 ≥ 0 ⇒ p^2 - 50p + 600 ≤ 0 ⇒ (p-20)(p-30) ≤ 0 ⇒ 20 ≤ p ≤ 30。同時需 Q ≥ 0 ⇒ p ≤ 50，綜合得 20 ≤ p ≤ 30。

詳解：原區域為 x≥0, y≥0, x+y≤4 的三角形，面積 8。加入 y ≥ ax+b 後，共同解為原區域中在直線 y=ax+b 上方的部分。要面積最大，應使直線盡量低，即 b 小而 a 合適。A 選項直線 y=-x+4 通過 (0,4) 和 (4,0)，剛好是原三角形的斜邊，上方區域即整個三角形，面積 8 最大。其他選項直線較高，減少面積。

詳解：考慮 f(x)=x^2 - 2ax + a。對 x>0 恆正，需滿足：若判別式 ≤ 0，則對所有 x 恆正，即 4a^2 - 4a ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a ≤ 1。但需檢查 x>0 時。若 a=0，f(x)=x^2>0 對 x>0 成立；若 a=1，f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2≥0，x=1 時為 0，但題意「皆成立」通常指 >0，等於 0 不算，故 a=1 不合。若判別式 >0，即 a<0 或 a>1，則有兩根。需保證兩根都不在 x>0 內或最小根大於 0。分析得 a>1 時，兩根均正，但 f(x) 在兩根之間為負，故不恆正。a<0 時，一根正一根負，x>0 時有負區間。綜合得 a 的範圍為 0 ≤ a < 1？但題目要求恆正，a=0 時成立，a=1 時等於 0 不恆正。但選項中無 0≤a<1。重新考慮：實際上，對於 x>0，f(x)>0 恆成立，需最小值在 x>0 且最小值 >0。對稱軸 x=a。若 a≤0，則 f(x) 在 x>0 遞增，最小值在 x=0 為 a，需 a>0 矛盾，故 a>0。若 a>0，最小值在 x=a 處，f(a)=a - a^2 >0 ⇒ 0<a<1。綜合得 0<a<1。但選項 A 為 0<a<1，正確。但之前判別式分析有誤。正確解法：對 x>0 恆正，需 f(0)=a≥0，且若對稱軸 a>0，則最小值 f(a)=a-a^2>0 ⇒ 0<a<1；若對稱軸 a≤0，則 f(0)=a>0，但此時 f 在 x>0 遞增，最小值在 x=0 處，但 x=0 不在定義域內，極限趨近 a，需 a>0，但 a≤0 矛盾，故不可能。所以 a 範圍為 0<a<1。注意 a=0 時 f(x)=x^2>0 成立，但 a=0 在邊界，通常包含？題意「皆成立」若包含等於，則 a=0 也成立。但選項 A 為 0<a<1，不包含 0。故需修正選項為 0≤a<1。但選項中無此，故將答案設為 A，解釋中說明 a=0 時也成立，但題目可能忽略邊界。為避免爭議，修改選項為：A. 0 ≤ a < 1；B. a ≤ 0；C. a ≥ 1；D. a > 0。正確為 A。