坐標幾何 — 直線與圓 練習

詳解：斜率為負數表示直線由左上向右下傾斜。選項 B 中，兩點 (-1,3) 和 (2,-1) 的斜率為 (-1-3)/(2-(-1)) = -4/3，為負數。選項 A 斜率為 (4-2)/(3-1)=1，正數；選項 C 斜率為 2，正數；選項 D 是垂直線，斜率無定義。故答案為 B。

詳解：兩直線垂直時，它們的斜率之積為 -1（除非其中一條為垂直線）。若 L₁ 斜率為 3，則 L₂ 的斜率 m 滿足 3m = -1，所以 m = -1/3。選項 A、B、C 均不符合垂直條件。故答案為 D。

詳解：將圓方程配方：x² - 6x + y² + 4y = 12，即 (x-3)² - 9 + (y+2)² - 4 = 12，所以 (x-3)² + (y+2)² = 25。因此圓心為 (3, -2)。選項 B 是符號錯誤，選項 C 和 D 是未配方直接取係數。故答案為 A。

詳解：將 P(2, k) 代入圓方程： (2-1)² + (k-3)² = 5，即 1 + (k-3)² = 5，所以 (k-3)² = 4，k-3 = ±2，解得 k = 5 或 k = 1。因此選項 A 正確。其他選項不符合方程。

詳解：圓 x² + y² = r² 上一點 (x₁, y₁) 的切線方程為 x₁x + y₁y = r²。代入 P(3, 4) 和 r² = 25，得 3x + 4y = 25。選項 B 把 r² 誤作 r；選項 C 交換了 x 和 y 的係數；選項 D 符號錯誤。故答案為 A。

詳解：將 y = 2x + 1 代入圓方程：x² + (2x+1)² = 5，即 x² + 4x² + 4x + 1 = 5，得 5x² + 4x - 4 = 0。判別式 Δ = 4² - 4(5)(-4) = 16 + 80 = 96 > 0，因此有兩個不同的交點。所以直線與圓相交於兩點。選項 B 是 Δ=0，C 是 Δ<0，D 錯誤。故答案為 A。

詳解：圓 C₁ 的圓心為 (0,0)，半徑 r₁=2；圓 C₂ 的圓心為 (3,0)，半徑 r₂=1。圓心距離 d = √((3-0)² + (0-0)²) = 3。選項 A 是半徑差，B 是半徑和的 2/3，D 是半徑和加 1。故答案為 C。

詳解： x 軸即 y=0，代入圓方程：(x-2)² + (0+1)² = 9，即 (x-2)² + 1 = 9，所以 (x-2)² = 8，x = 2 ± 2√2，有兩個不同的 x 值。因此圓與 x 軸有兩個交點。選項 A 和 B 不正確，D 錯誤因為可計算。故答案為 C。

詳解：直線與圓相切時，圓心 (0,0) 到直線的距離等於半徑 2。直線方程可寫為 mx - y + 4 = 0，距離 = |4| / √(m² + 1) = 2，所以 4 / √(m²+1) = 2，解得 √(m²+1) = 2，m² + 1 = 4，m² = 3，m = ±√3。因此選項 A 正確。其他選項不符合距離條件。

詳解：圓方程 x² + y² = 169，半徑為 13。點 P 到圓心 (0,0) 的距離為 √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13，等於半徑，因此 P 在圓上。選項 A 距離小於半徑，C 距離大於半徑，D 可確定。故答案為 B。