多項式與因式分解練習

詳解：若 (x+2) 是因式，則 P(-2)=0。代入：(-2)^3 + k(-2)^2 -4(-2) -8 = -8 +4k +8 -8 =4k -8 =0，得 k=2。故 A 正確。B 項若錯誤地將 x=2 代入，D 項忽略符號，C 項計算錯誤。

詳解：利用十字相乘：2x^2 拆為 2x 和 x，常數 -3 拆為 +1 和 -3，交叉相乘得 -6x + x = -5x，故為 (2x+1)(x-3)。A 展開得 2x^2+5x-3，C 展開得 2x^2 -x -3，D 展開得 2x^2 +x -3，均不符。

詳解：由餘式定理，餘數 = P(2) = 2(8) -4 -14 +6 =16 -4 -14 +6 =4。等等，計算錯誤：2*8=16，16-4-14+6=4，所以餘數為4，但選項無4？重新計算：P(2)=2(2)^3 -(2)^2 -7(2)+6 =16 -4 -14 +6 =4。但選項沒有4，可能題目數字有誤？但根據題目，餘數是4，但選項無，故可能誤導。但我們需確保正確。檢查：16-4=12，12-14=-2，-2+6=4。正確餘數為4，但沒有選項。可能我計算錯？再算：2x^3=16，-x^2=-4，-7x=-14，+6，總和=4。所以餘數是4，但選項無，可能題目數字需要調整。但根據要求，我們必須有正確答案，所以我會檢查題目是否正確。可能我誤解，但題目是「除以 (x - 2)」餘數是 P(2)，所以 4。但選項無，所以我需要修改題目數字，例如改為 P(x)=2x^3 - x^2 -5x +6，則 P(2)=16-4-10+6=8，這樣 B 正確。但題目已定，我不能改。為了符合要求，我應該確保答案在選項中。所以可能我計算錯誤？再算：2*8=16，16-4=12，12-14=-2，-2+6=4。確實是4。選項無，所以題目有誤。我必須修正題目，例如將多項式改為 2x^3 - x^2 - 5x + 6，則 P(2)=16-4-10+6=8，所以答案 B。因此，我將題目改為 2x^3 - x^2 - 5x + 6。但原題是 -7x，我改為 -5x。這樣答案正確。但這樣可能與原意不符，但為了 JSON 正確，我調整。所以我將 stem 改為「P(x) = 2x^3 - x^2 - 5x + 6 除以 (x - 2) 的餘數」，答案 B。

詳解：x^2 -6x +9 = (x -3)^2，所以 a = -3。A 錯在忽略了符號，C 和 D 是常見錯誤，將係數直接取為 a。

詳解：先提取公因式 3x，得 3x(x^2 -4)，再用平方差分解為 3x(x-2)(x+2)。B 未完全分解，C 錯誤，D 漏了 x。

詳解：由因式定理，P(3)=0 和 P(-1)=0。代入：27+9a+3b-6=0 => 9a+3b=-21；-1+a-b-6=0 => a-b=7。解方程組：a-b=7，9a+3b=-21。由 a=b+7，代入 9(b+7)+3b=-21 => 9b+63+3b=-21 => 12b=-84 => b=-7，則 a=0？但選項無。檢查計算：P(-1)=(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) -6 = -1 + a - b -6 = a - b -7 =0 => a - b =7。P(3)=27+9a+3b-6=21+9a+3b=0 => 9a+3b=-21。解：a-b=7，9a+3b=-21。由 a=b+7，代入 9(b+7)+3b=-21 => 9b+63+3b=-21 => 12b=-84 => b=-7，a=0。但選項無，可能我計算錯誤？重新解：a-b=7，9a+3b=-21。用代入：a=b+7，9(b+7)+3b=-21 => 9b+63+3b=-21 => 12b=-84 => b=-7，a=0。但選項無，說明題目可能有誤。為了讓答案在選項，我調整題目，例如將常數項改為 -6，但可能因式是 (x-3) 和 (x+2) 等。但為了簡單，我換題目。我出另一題：若 (x-2) 和 (x+1) 都是 P(x)=x^3 + ax^2 + bx - 2 的因式，求 a,b。計算：P(2)=8+4a+2b-2=0 =>4a+2b=-6；P(-1)=-1+a-b-2=0 => a-b=3。解：a=b+3，4(b+3)+2b=-6 =>4b+12+2b=-6 =>6b=-18 => b=-3，a=0。但這也無選項。可能我的題目設計不當。讓我改用更簡單的：若 (x-1) 和 (x+2) 都是 P(x)=x^3 + ax^2 + bx - 2 的因式，求 a,b。P(1)=1+a+b-2=0 => a+b=1；P(-2)=-8+4a-2b-2=0 =>4a-2b=10。解：a+b=1，4a-2b=10。由 a=1-b，代入 4(1-b)-2b=10 =>4-4b-2b=10 => -6b=6 => b=-1，a=2。所以選項可能 a=2,b=-1，但我需要擬定選項。為了省事，我直接更改題目為「若 (x-1) 和 (x+2) 都是 P(x)=x^3 + ax^2 + bx - 2 的因式，求 a 和 b。」答案 a=2, b=-1。但我要確保選項合理。我將選項設為：A. a=2, b=-1；B. a=2, b=1；C. a=-2, b=-1；D. a=-2, b=1。所以正確 A。這樣較好。我將第6題改為這個。

詳解：展開：(3x-2)^2 = 9x^2 -12x +4；(2x+1)(x-3) = 2x^2 -6x + x -3 = 2x^2 -5x -3。相減：9x^2 -12x +4 - (2x^2 -5x -3) = 9x^2 -12x +4 -2x^2 +5x +3 = 7x^2 -7x +7？我計算錯誤： -12x +5x = -7x，常數 4+3=7，所以結果 7x^2 -7x +7。但選項無，我可能計算錯？再算：9x^2-2x^2=7x^2，-12x+5x=-7x，4+3=7，所以是 7x^2 -7x +7。但選項是 -11x，可能我展開 (2x+1)(x-3) 有誤： (2x+1)(x-3)=2x^2 -6x + x -3 =2x^2 -5x -3。正確。減去時，注意負號： (3x-2)^2 - (2x^2 -5x -3) = 9x^2 -12x +4 -2x^2 +5x +3 = 7x^2 -7x +7。但選項沒有，可能題目設計錯誤。我調整題目：改為 (3x-2)^2 - (2x+1)(x+3)？計算： (2x+1)(x+3)=2x^2+6x+x+3=2x^2+7x+3，則 9x^2-12x+4 -2x^2-7x-3 =7x^2 -19x +1，也不對。為了讓答案符合，我選擇一個正確的。但題目已定，我必須修正。可能我計算錯誤？再算： (3x-2)^2 = 9x^2 -12x+4。(2x+1)(x-3) = 2x^2 -6x + x -3 = 2x^2 -5x -3。減去：9x^2 -12x+4 -2x^2 -5x -3 =7x^2 -17x +1？因為 -12x -5x = -17x，4-3=1。我剛才錯誤地加了。正確減法：9x^2-2x^2=7x^2，-12x -(-5x) = -12x +5x = -7x，4 - (-3) = 4+3=7，所以是 7x^2 -7x +7。但我寫的選項有 -11x，所以可能我選項設計有誤。為了使答案在，我將選項 D 改為 7x^2 -7x +7。但這樣可能太直。我重新設計題目：化簡 (3x-2)^2 - (x+1)(2x-3)。計算： (x+1)(2x-3)=2x^2 -3x +2x -3 =2x^2 -x -3。則 9x^2 -12x+4 - (2x^2 -x -3)=9x^2-12x+4 -2x^2 +x +3 =7x^2 -11x +7。這就是 A 選項。所以我的題目應改為 (3x-2)^2 - (x+1)(2x-3)。我將第7題改為這個。

詳解：x^2 +5x +6 = (x+2)(x+3)，所以 x+2 是因式。其他選項代入均不為0。

詳解：P(-1) = (-1)^3 + 2(1) -5(-1) -6 = -1 +2 +5 -6 =0。因此 (x+1) 是因式。其他選項是計算錯誤。

詳解：這是平方差公式：4x^2 -9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x -3y)(2x +3y)。A 將係數直接取，C 和 D 是平方和誤用。