DSE 數學：多項式與因式分解練習

詳解：將 x = -1 代入：f(-1) = 3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1) - 7 = -3 - 2 - 5 - 7 = -17。注意負數的奇偶次冪，常見錯誤是符號處理不當。

詳解：x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)，所以 x - 3 是其中一個因式。其餘選項代入或展開均不符合，學生常誤以為 x - 6 是因式，但 (x - 6)(x + 1) 展開得 x^2 - 5x - 6，不符。

詳解：展開：2x*x = 2x^2，2x*(-4) = -8x，3*x = 3x，3*(-4) = -12，合併得 2x^2 - 5x - 12。常見錯誤是漏乘或符號錯誤，例如選 B 漏了 3x 項。

詳解：因式定理：P(2) = 8 - 4k + 6 + 2 = 16 - 4k = 0，解得 k = 4。學生常誤將因式定理記為 P(-2) 或計算失誤。

詳解：若多項式被 x + 1 整除，則 x = -1 為其根。A: (-1)^2 - 1 = 0；B: (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0？其實等於 0，所以 B 也可整除。但 C: 1 - 2 + 1 = 0；D: 1 + 2 - 3 = 0。所有選項都可整除？檢查發現 B 也整除，題目有誤。需修正：將 B 改為 x^3 - 1，則 (-1)^3 - 1 = -2 ≠ 0，不可整除。故答案為 B。

詳解：這是一個完全平方三項式：4x^2 = (2x)^2，9y^2 = (3y)^2，中間項 -12xy = -2(2x)(3y)，所以為 (2x - 3y)^2。學生可能誤選 D，但那是平方差形式，此題無平方差。

詳解：代入 x = 1：2 + a + b - 3 = 2 => a + b = 3。代入 x = -1：-2 + a - b - 3 = -6 => a - b = -1。解聯立得 a = 1, b = 2？檢查：a+b=3，a-b=-1，相加得 2a=2 => a=1，b=2。但選項沒有，需調整選項。正確應為 a=1, b=2，但選項中沒有，題目需修改。改為 a=1, b=2 放入選項。

詳解：因式分解分子：x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)，約去公因式 (x - 2) 得 x + 2。注意 x ≠ 2 的條件，學生可能直接代入或忽略因式分解。

詳解：餘式定理：餘數 = P(-1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0。因此 x + 1 是因式。學生可能誤算為 P(1) 或計算錯誤。

詳解：將 x = a 代入使多項式為 0。測試 a = 1：2 - 5 + 3 - 1 = -1 ≠ 0；a = 1/2：2*(1/8) - 5*(1/4) + 3*(1/2) - 1 = 0.25 - 1.25 + 1.5 - 1 = -0.5？計算：0.25-1.25=-1，+1.5=0.5，-1=-0.5 ≠0。a=2：16-20+6-1=1 ≠0。a=-1：-2-5-3-1=-11 ≠0。沒有一個是零？需重新設計。正確設計：多項式為 2x^3 - 5x^2 + x + 2，則 a=1 時：2-5+1+2=0，所以 a=1。所以修改題目。