指數與對數基礎練習

詳解：根據指數定律，同底數相除指數相減：x^(2-5)=x^(-3)，y^(3-1)=y^2，所以結果為 x^(-3) y^2。學生常錯選 A 或 D，因為混淆了指數相加或相減的規則。

詳解：對數定義：log_a (b) = c 等價於 a^c = b。所以 log_2 (x) = 3 表示 2^3 = x，即 x = 8。常見錯誤是將 2 和 3 相乘得 6（選 A），或誤解為 2^3=8 但寫成 6。

詳解：log_3 (27) = 3，因為 3^3 = 27；log_3 (1/3) = -1，因為 3^(-1) = 1/3。所以和為 3 + (-1) = 2。學生可能誤算 log_3 (1/3) 為 1，導致選 C。

詳解：利用對數性質：log(a^2 b) = 2 log(a) + log(b) = 2(2) + 0.5 = 4.5。常見錯誤是直接將指數相乘：2*2=4，再加0.5得4.5，但忽略了對數性質。

詳解：根據對數減法定律：log_5 (75) - log_5 (3) = log_5 (75/3) = log_5 (25)。因為 5^2 = 25，所以 log_5 (25) = 2。選 A 誤用減法為直接相減，選 B 未化簡。

詳解：16 = 2^4，所以 2^(x+1) = 2^4，因此 x+1 = 4，解得 x = 3。常見錯誤是直接將指數相加得 x=15（選D），或誤以為 2^(x+1)=16 即 x+1=16。

詳解：換底公式：log_a (b) = log_c (b) / log_c (a)。所以 log_2 (10) = log_10 (10) / log_10 (2)。學生常顛倒分子分母，選 A。

詳解：log_10 (x) = 1.5 表示 x = 10^1.5 = 10 * 10^0.5 ≈ 10 * 3.16 = 31.6。常見錯誤是直接將 1.5 乘以 10 得 15（選A），或誤解為 10^1.5 = 15。

詳解：(e^x)^2 = e^(2x)，所以原式 = e^(2x) / e^(3x) = e^(2x-3x) = e^(-x)。常見錯誤是將指數相加或相乘，選 B 或 C。

詳解：數量增長模型：N = N0 * (1 + r)^t，其中 r = 0.5，t = 3。所以 N = 100 * (1.5)^3 = 100 * 3.375 = 337.5，最接近 337。常見錯誤是直接乘以 1.5*3=4.5 得 450，但選項沒有，或誤算為 100*1.5*3=450。