DSE 數學：指數與對數（進階）

詳解：兩邊取對數：(x+3) log 2 = (x-1) log 5。展開：x log 2 + 3 log 2 = x log 5 - log 5。移項：x(log 2 - log 5) = -log 5 - 3 log 2。 x = (-log 5 - 3 log 2)/(log 2 - log 5) = (log 5 + 3 log 2)/(log 5 - log 2)。故選 B。其他選項為符號錯誤或分母錯誤。

詳解：合併對數：log₂[(x+1)(x-1)] = 3 ⇒ (x+1)(x-1) = 8 ⇒ x² - 1 = 8 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3。由於 x > 1，所以 x = 3。選 B。其他選項為常見錯誤：未合併或忽略定義域。

詳解：利用換底公式：logₐ c = (log b c) × (logₐ b) = 3 × 2 = 6。或者直接：logₐ b = 2 ⇒ b = a²，log_b c = 3 ⇒ c = b³ = (a²)³ = a⁶，故 logₐ c = 6。選 B。其他選項是常見錯誤如相加或相乘錯誤。

詳解：根據對數性質：log (x²/y³) = log x² - log y³ = 2 log x - 3 log y。故選 A。其他選項常見錯誤：符號錯誤或錯誤地將指數當作對數的冪。

詳解：兩邊取對數：(2x-1) log 5 = (x+2) log 3。展開：2x log 5 - log 5 = x log 3 + 2 log 3。移項：2x log 5 - x log 3 = 2 log 3 + log 5 ⇒ x(2 log 5 - log 3) = 2 log 3 + log 5 ⇒ x = (2 log 3 + log 5)/(2 log 5 - log 3)。故選 A。其他選項為常見的移項或符號錯誤。

詳解：利用對數性質：2 logₓ 3 = logₓ 3² = logₓ 9，右邊 logₓ 6 + logₓ 2 = logₓ 12。因此 logₓ 9 = logₓ 12 ⇒ 9 = 12，矛盾。故無解。選 D。其他選項為常見錯誤：無視對數性質或解方程錯誤。

詳解：設每小時增長率為 r，則 1000(1+r)³ = 8000 ⇒ (1+r)³ = 8 ⇒ 1+r = 2 ⇒ r = 1，即 100%。故選 A。其他選項為常見錯誤：直接除以 3 或誤解指數增長。

詳解：12 = 4 × 3 = 2² × 3，所以 logₐ 12 = logₐ (2² × 3) = 2 logₐ 2 + logₐ 3 = 2m + n。故選 B。其他選項為常見錯誤：誤把 log 乘法當加法或指數錯誤。

詳解：4^x = (2²)^x = 2^(2x)，2^(x+2) = 2^x · 2² = 4·2^x。方程為 2^(2x) - 4·2^x = 0 ⇒ 2^x(2^x - 4) = 0 ⇒ 2^x = 4 ⇒ x = 2。故選 A。其他選項為常見錯誤：直接比較指數或忽略 2^x 不可能為 0。

詳解：由定義：logₓ 8 = 3 等價於 x³ = 8 ⇒ x = 2（因為 x > 0）。故選 A。其他選項為常見錯誤：誤以為 x = 8/3 或錯誤運算。